概率统计的基础计算

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概率统计的基础计算

组合数学

按照是否可重复选择和顺序是否重要

1. 排列问题Permutation：不可重复，顺序重要 ${}_n \mathrm{P}_k = n(n-1) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$
   • 例如从 5 人中选 3 人并排成一队。
2. 组合问题Combination：不可重复，顺序不重要 ${}_n \mathrm{C}_k = \binom{n}{k} = \frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! k!} = \frac{{}_n \mathrm{P}_k}{k!}$
   • 从10个人中选择3个组成委员会
3. 重复排列：可以重复，顺序重要 ${}_n \Pi_k = n^k$
   • 从0-9中选择数字组成一个4位的密码。
4. 重复组合：可以重复，顺序不重要 ${}_n \mathrm{H}_k = {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k = \binom{n+k-1}{k} = \frac{n(n+1) \cdots (n+k-1)}{k!}$
   • 从橘子，苹果，桃子中允许重复的选择，组成10个的组合。
     • 本质上是隔板法的实现：假设现在有 10 个球，我们需要将其分为三类水果，那么只需要 $k-1=2$ 个隔板就能够实现，加上原本的 10 个球，一共有 $12$ 个位置需要填入。
     • ${}_n \mathrm{H}_k = {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k = \binom{n+k-1}{k} = \frac{ (n+k-1)!}{(n-1)!k!}$

运算法则

1. 加法法则 (Addition Rule) —— “分类”

核心思想： 如果完成一件事有几类办法，各类办法相互独立（互斥），那么总数就是各分类情况的和。

• 逻辑关键词： “或”（OR）。

• 数学定义： 若集合 $A$ 与 $B$ 不相交（$A \cap B = \emptyset$），则选出属于 $A$ 或 $B$ 的元素总数为：

  $\#(A \cup B) = \#(A) + \#(B)$

• 生活例子：

  你想从 A 地去 B 地，坐高铁有 3 班，坐飞机有 2 班。因为你不能同时坐高铁又坐飞机，所以总共有 $3 + 2 = 5$ 种方案。

2. 乘法法则 (Multiplication Rule) —— “分步”

核心思想： 如果完成一件事需要分成几个步骤，每个步骤之间是连续的、衔接的，那么总数就是各步骤情况的乘积。

• 逻辑关键词： “且” / “然后”（AND / THEN）。

• 数学定义： 集合 $A$ 与 $B$ 的直积（所有可能的配对情况）的总数为：

  $\#(A \times B) = \#(A) \times \#(B)$

• 生活例子：

  你想搭配一套衣服，有 3 件上衣和 2 条裤子。你需要先选上衣，“然后”再选裤子，总共有 $3 \times 2 = 6$ 种搭配。

3. 商的法则 (Division Rule) —— “消序”

核心思想： 当我们将元素排好序后，发现原本认为“不同”的情况在某种规则下其实是“相同”的（重复计数了），这时就需要除以重复的倍数。

教材中称之为**“棒球队原理”**：

• 逻辑场景： 假设有 $N$ 个不同的排列，但它们实际上属于同一个“团队”（即它们是同一种情况的多种排列）。如果每个团队都有 $k$ 个成员，那么团队的总数就是 $N \div k$。

• 数学定义：

  $n = \frac{\#(A)}{\#(B_i)}$

  其中 $\#(A)$ 是总数，$\#(B_i)$ 是每一组重复出现的次数。